Gabriella Aschero, Emilio Brengio, Marilena Conti

LA DIDATTICA DEL PROBLEMA ARITMETICO

PRESENTAZIONE DEL

"PROGETTO RHODA (numeri con qualità)"

Metodologia e

Metodologia e software interattivo per la didattica della matematica nella scuola elementare

Riuscire a dare un senso a ciò che si propone ai bambini, nell'attività matematica, è uno degli obiettivi che si propongono la metodologia e il software del Progetto Rhoda 'numeri con qualità'. Si tratta di riuscire ad associare al numero il suo ruolo logico e merceologico sia nella singola operazione che nella struttura complessiva di un problema a più operazioni: numeri con "qualità". L'analfabeta nel suo mondo, anche se complesso, si muove con sicurezza perché ha ben chiaro il senso di ogni situazione. Passare dal mondo esplorato e posseduto dal bambino, prima della scolarizzazione, alla costruzione dei concetti generali e delle relazioni (non solo quantitative ma anche merceologiche) nelle strutture matematiche, è uno dei compiti della scolarizzazione. Fornire una guida, non solo linguistica, in questo passaggio, è ciò che ci si propone e di cui il software vuol essere l'esemplificazione. Software interattivo per i bambini, ma anche software come strumento di comunicazione con gli insegnanti. Raccontare la metodologia è come raccontare una ricetta, o come spiegare l'uso di un software. Le parole rischiano di non essere efficaci, comunque l'interpretazione è faticosa e qualche passaggio può essere frainteso o anche omesso. I particolari, però, nell'artigianato, (e la didattica è artigianato) sono spesso fondamentali. Si tratta di proposte aperte: l'insegnante le può modificare secondo le sue esperienze, personalizzarle in funzione degli utenti. I bambini cambiano, le caratteristiche delle classi sono sempre diverse nello spazio e nel tempo. Il ruolo centrale è sempre quello dell'insegnante, inteso come "mastro" che guida, facendo e che invita a fare, guidando. Software come strumento per presentare proposte, se il computer, collegato ad un televisore, riesco ad averlo in classe. Computer utilizzabile in ogni momento, non relegato in spazi sacri e, anche se non è l'ultimo modello, va benissimo. Software che affianca la lavagna, che si aggiunge agli altri strumenti della didattica esaltando la specificità di ciascuno. Software come strumento flessibile al servizio dell'insegnante, e non il contrario, che libera energie da compiti ripetitivi, che permette percorsi personali, che non disperde l'attenzione, ma la focalizza su di un singolo aspetto della didattica. Cercare di porre al centro del lavoro il bambino, non la disciplina. Proporre attività che permettano la scoperta degli aspetti di generalizzazione e della regola, che evidenzino la logica e ne permettano l'analisi, separandola dal numero. Cercare di visualizzare le leggi, proporre modelli grafici e logici che occupano lo spazio intermedio tra la varietà delle situazioni numeriche, merceologiche, linguistiche e i segni convenzionali del linguaggio matematico. Fino a che punto si può rendere visibile l'invisibile? Leggi, relazioni, rapporti sono esprimibili solo con simboli arbitrari e convenzionali, oppure si possono offrire, prima del simbolo, strumenti ancora significanti senza essere legati alla rappresentazione di oggetti o alle variabili dell'espressione linguistica? Come avere punti più avanzati di validazione dell'intervento didattico? L'altro aspetto del Progetto Rhoda è quello di permettere la liberazione della lingua da un uso ancillare rispetto alla matematica. Una lingua che non sia obbligata a servire da strumento di guida verso la soluzione del problema, ma che possa raccontare con tutta la sua possibile autonomia. Le storie che i bambini inventano sul problema ne rispettano la logica della struttura matematica, ma sono una diversa dall'altra. Favoriscono l'inserimento, nella matematica, del mondo della fantasia e degli affetti.

LA MACEDONIA

Un giorno la signora Ida andò a trovare una signora di nome Anna e le portò la macedonia. La signora Anna e la signora Ida mangiarono insieme mezza macedonia, l'altra metà la signora Anna la mise in frigo per mangiarla alla sera. Il figlio della signora Anna le chiese:

•  
• Quanti frutti c'erano nella macedonia? -

12 pesche, 9 mele e 6 limoni. -

•  
• Quanti sono tutti i frutti? - chiese il bimbo.
•  
• - Fatti il conto da solo - disse la signora Anna.
•  
• Il bimbo ci pensò e disse: 12 + 9 + 6 = 27

Scrivere delle storie per leggerle ai compagni. Ascoltare le storie dei compagni e averne stimolo per le proprie. Scrivere perché si ha qualcosa da dire. Poter raccontare se stessi anche mentre si fa matematica, senza dover aspettare di poterlo fare solo con i bambolotti. Vivere la matematica come aspetto integrante della propria vita, non come momento separato e a volte angosciante.

LA MACEDONIA DI LUISA

Un giorno Luisa andò in montagna. Ci stette 4 settimane. Quando ritornarono a casa la nonna ebbe un'idea: avrebbe festeggiato il ritorno della nipotina facendo un pranzo insieme a tutti i parenti. Il giorno previsto era venerdì. La mamma passa a prendere la nonna di mattino presto. Dopo pranzo avrebbero mangiato una torta di frutta e quando la nonna stava facendo la torta esclamò: - Oh no, manca la farina e le uova! Come faremo a fare la torta?- Però, tranquillizzando la nonna, la mamma disse: - Per fortuna che ci sono gli ingredienti per fare una macedonia buonissima! - Così, in quattro e quattr'otto, si misero a fare la buonissima macedonia. - Dlin, dlin - arrivano i parenti. Tutti mangiarono a sazietà. Viene il momento della macedonia. La zia assaggiando la macedonia disse: - Quanti e quali frutti avete messo nella macedonia? Perchè sembra fatta da uno chef! - La nonna rispose: - 11 banane,3 limoni e 10 prugne. - Ma la zia disse: - Io voglio sapere quanti frutti sono in tutto. - La nonna dise garbatamente sorridendo: - Non eri molto brava in matematica, come i tuoi cari fratellini! Quindi voglio vedere se ti sei migliorata facendo il conto da sola. - La zia esclamò: - Ah, non sei mai cambiata! Comunque se lo vuoi veramente te lo dico subito! - Però la zia mormorò: - Aia, qui si mette male, però potrei farcela, ma su proviamoci! - - E' per caso 24? - - Giusto! - disse la nonna e si misero tutti a ridere.

Venne la sera e, quando Luisa andò a dormire ripensò a tutte le cose stupende che le erano successe quel giorno. Il giorno dopo e tutti gli altri giorni continuò a ripetere: - Quando rifacciamo una cena così? Domani, dopo dopo dopodomani? Eh, quando? Dai, me lo dici? - I suoi genitori volevano tanto bene a Luisa che organizzarono un'altra volta un pranzo così la nonna chiese se volevano la torta o la macedonia dell'altra volta. Loro risposero: - Naturalmente la macedonia dell'altra volta, però deve essere buona come quella precedente se no non la accettiamo. - La volta seguente la cena fu ancor più allegra e più spensierata del solito e la macedonia, naturalmente, fu più buona di quella precedente.

Poter lavorare in modo non episodico all'invenzione di problemi già in prima elementare, quando ancora non si possiedono tutti gli strumenti della lingua e del calcolo, ma si possiedono forti capacità logiche, dà fiducia e soddisfazione. Poter lavorare in modo autonomo permette di utilizzare il massimo delle proprie energie e delle proprie capacità, diminuendo i tempi dell'attesa e della noia, per alcuni, e quelli della frustrazione per altri. Nella classe le voci si alternano, la lezione frontale diminuisce, i contributi possono arrivare da tutti.

ESPERIENZA IN CLASSE III

MOTIVAZIONE:
La scelta di utilizzare il metodo del PROGETTO RODA per la risoluzione dei problemi, è stata fatta nell'ultimo periodo della classe II, motivata dalle enormi difficoltà che i miei alunni incontravano in tutto il processo dell'apprendere (la classe infatti presenta un elevato numero di bambini in situazione di svantaggio legato a fattori socio-economici-culturali) e che nell'area matematica si evidenziavano soprattutto nel problem-solving, dove la difficoltà di risoluzione si riconosce essere legata a cause varie e complesse quali:

•  
• livello di sviluppo intellettuale dell'alunno
•  
• difficoltà psicologiche
•  
• comprensione del linguaggio verbale e di quello simbolico
•  
• acquisizione incompleta dei concetti riguardanti la successione temporale e la relazione tra i dati.
•  
• acquisizione dei concetti relativi alle 4 operazioni o a questioni aritmetiche specifiche (compravendita, misure…)

Fin dalla prima classe gli alunni denotavano un codice linguistico ristretto, caratterizzato da rigidità di sintassi e da un uso scarso di possibilità formali per l'organizzazione verbale (uso rigido e limitato di aggettivi e avverbi; scarso uso di proposizioni subordinate per spezzare le categorie dell'argomento principale; uso semplice e ripetitivo di congiunzioni ......)

Tutto ciò è stato causa di enormi difficoltà nella comprensione e proprio in tale direzione si è organizzato il lavoro scolastico e si è utilizzato il problema come strumento di formazione del pensiero :

analizzando/comprendendo il linguaggio

promuovendo il ragionamento

individuando il rapporto tra i dati e la richiesta

L'utilizzo dei grafici logici del PROGETTO RHODA si è rivelato efficace nel favorire:

•  
• lo sviluppo del ragionamento logico attraverso un itinerario che porta dalle esperienze (operazioni) concrete alla capacità di astrazione;
•  
• stimolare la creatività (libertà nella stesura del testo pur dovendo rispettare la logica)
•  
• aiutare l'alunno incerto e più debole individualizzando l'intervento per un proficuo lavoro di recupero
•  
• comprendere i contributi aritmetici espressi attraverso il linguaggio verbale e il linguaggio simbolico
•  
• lingua parlata/scritta

Infatti il linguaggio aritmetico si serve di:

grafici
numeri
Per comprendere le relazioni tra i dati di un problema bisogna capire la relazione tra il "tutto" e le "parti" uguali e/o non uguali che lo compongono.

L'INSIEME E LE PARTI NON UGUALI

MACEDONIA (SOFTWARE)

MACEDONIA (STORIA)

L'INSIEME E LE PARTI UGUALI

LE CASETTE DEL PRESEPE (software)

C'era una volta un piccolo villaggio di puffi. Un giorno Forzuto disse:

•  
• Domani ci riuniremo. -
•  
• L'indomani ci fu una riunione e disse Forzuto: -
•  
• Io da domani lavoro a fare casette del presepe. -
•  
• Il 10 dicembre cambiò lavoro e fece il riempitore di scatole. Il 19 dicembre riempì con 6 casette 10 scatole e allora ha fatto il conto delle 6 casette e delle 10 scatole. Incominciò a contare. Lui contava così: allora ha fatto il conto fino a 6, ne conta altre 6 ed è venuto 12, poi conta ancora 6 ed è venuto fuori 18, poi 24, poi 30, poi 36, poi 42, poi 48, poi 54 e infine è venuto fuori 60. Poi si stancò e non lavorò più. Però non se lo scorderà mai che ha lavorato. Però non si è accorto che ha fatto tutta la tabellina del 6.

Tale metodo abitua il bambino sia a rappresentare in un unico grafico una situazione sia a "costruire" un testo partendo dal grafico stesso, approfondendo la comprensione e sviluppando la capacità di ideazione. Si può utilizzare il linguaggio corrente per introdurre il concetto di incognita. Si comprende meglio il rapporto tra i dati e quindi è un aiuto a distinguere tra dati utili e dati inutili. L'impiego del mezzo informatico, infine, si colloca come mediatore, agevolando il superamento dei condizionamenti e delle differenze sociali grazie al suo utilizzo formativo e creativo.



SITUAZIONE DI PARTENZA DELLA CLASSE

Classe con alta presenza di alunni in situazione di svantaggio socio - culturale - economico

•  
• Difficoltà di relazioni interpersonali : disturbi nella sfera emozionale/affettiva
•  
• Difficoltà a riconoscere/ rispettare regole
•  
• Difficoltà di attenzione e di concentrazione
•  
• Scarsa o assente la motivazione ad apprendere
•  
• Linguaggio povero
•  
• RISCHI PER L'INSEGNANTE
•  
• sfiducia in sé
•  
• abbassamento della qualità dell'intervento
•  
• disistima nei confronti degli alunni

RIMEDI ADOTTATI

•  
• Organizzazione del lavoro finalizzata verso:
•  
• Comprensione del linguaggio parlato/scritto
•  
• Relazione tra bambini e con adulti
•  
• Confronto di opinioni e di sentimenti
•  
• Utilizzo del computer

OSSERVAZIONI A FINE TERZA

La speranza che l'utilizzo di uno strumento come il computer potesse essere stimolante per gli alunni non è stata disattesa. Sono passata gradualmente ad introdurre l'utilizzo del GRAFICO DELLE PARTI (grafico delle parti) a fine seconda, ponendo particolare riguardo a non modificare troppo e troppo in fretta il linguaggio utilizzato fino a quel momento, perciò il termine "parte" si è affiancato al termine sottoinsieme per diverso tempo, e solo ad inizio terza ho introdotto il GRAFICO DELLA FRAZIONI.( GRAFICO DELLA FRAZIONI)

I bambini fin dall'inizio sono stati liberi di scrivere testi "maxi" o "mini" mentre si è stabilita come "regola" il contenuto logico del grafico. Ai bambini è subito piaciuto questo nuovo modo di fare i problemi, poiché permetteva la stesura personale del testo e il momento della lettura agli altri permetteva a tutti di essere protagonisti e nello stesso tempo tutti potevano esercitare un'azione di controllo e di confronto tra i vari testi. Utilissimo si è rivelato il momento dell'impostazione alla lavagna di un problema, preso generalmente da eventi scolastici ( organizzazione di gite, feste ecc.) in cui ogni alunno, anche il più debole, poteva portare il proprio contributo, richiamato comunque ad una responsabilità personale ad una partecipazione attiva e quindi ad una più costante attenzione.

COSTRUZIONE DI PROBLEMI A 2 OPERAZIONI

Quando in un problema standard una domanda è nascosta aumentano notevolmente le difficoltà poiché l'alunno deve scoprire le tappe intermedie e formulare verbalmente la domanda nascosta per ragionare sul testo. Nei problemi inversi il momento della costruzione del testo è un momento di:

•  
• aiuto e verifica della comprensione dei rapporti fra i dati ;
•  
• sviluppo della capacità di ragionamento;
•  
• miglioramento del linguaggio con il corretto uso dei connettivi logici.

Imparare a schematizzare tutte le informazioni aiuta il processo logico.

I grafici utilizzati nel PROGETTO RHODA:

•  
• permettono di scoprire più facilmente le relazioni fra i numeri,
•  
• favoriscono il pensiero critico poiché implicano una scelta motivata ,
•  
• portano alla scoperta induttiva di regole costanti,
•  
• guidano alla formulazione di ipotesi da verificare mediante processi aritmetici,
•  
• servono a verificare la comprensione dei termini e a favorire l'acquisizione di un linguaggio specifico.

Inoltre il testo, scritto liberamente, fornisce la possibilità di esprimere in più modi le informazioni senza tuttavia cambiare il significato. Il grafico può servire a visualizzare un procedimento già chiaro nella mente, ma può aiutare a rendere più evidenti i rapporti tra i dati e, quindi, guida alla risoluzione.

METODOLOGIA DI LAVORO

1 - DECODIFICAZIONE DI UN TESTO

Analisi linguistica del testo:

Scelta dell'ambiente: libera/guidata

Raccolta dei dati

Scelta del denominatore dell'insieme: (di cosa parliamo?)

Individuazione della richiesta: (incognita)

Scelta dell'attributo: come?

Scelta dell'attributo/numero:(quanti?)

Analisi dei dati

Rappresentazione grafica

Schema di ragionamento

Racconto/storia della situazione

Strategia risolutiva: quale operazione

Lettura dei testi: confronto

Secondo le esigenze della vita di classe, si invitano i bambini a costruire il problema sulla base di alcune informazioni e su criteri di scelta individuali, per favorire:

•  
• la progettualità
•  
• la capacità di dividere in sequenze
•  
• la capacità di gestire i dati
•  
• essere protagonista e non solo esecutore (rapporto positivo con il problema)
•  
• attivare le risorse cognitive e di memoria
•  
• procedere con un controllo continuo della situazione
•  
• scrivere un testo proprio per imparare a capire/risolvere testi altrui
•  
• costruire il significato delle operazioni
•  
• dare "valore" al numero che non resta un'entità astratta

Si sceglie inizialmente insieme l'argomento es. una gita, dal gelataio, in cartoleria ecc.; si decide che operazioni vogliamo utilizzare e si preparano poi i grafici relativi alla lavagna.

ERRORE COMPRENSIONE

A. Raccolta dati errata

Il bambino non riesce a decodificare, all’interno del testo del problema, le "parole-chiave" e/o i numeri relativi alla risoluzione corretta.

Può essere :

1.  
2. Un problema logico
3.  
4. Un problema linguistico
5.  
6. Un problema di attenzione

Se a) o c) vedi programmi come Dati1, Dati2 ed esercizi simili o equivalenti

Collegamento a SOFTWARE DATI1 DATI1

Collegamento a SOFTWARE DATI2 DATI2

Se b)… leggere?… ( può accadere, per esempio, con bambini di madrelingua diversa dall’italiano o con scolarizzazione precedente in altra lingua)

B. Raccolta dati corretta, schema logico errato

I dati sono stati individuati correttamente, la richiesta (domanda) anche, ma il bambino non è in grado di organizzare questi dati secondo un processo logico.

Può derivare da:

1.  
2. Poco approfondimento dei grafici/schemi relativi alle singole operazioni (per esempio alunni inseriti nel secondo ciclo, provenienti da altre classi)
3.  
4. Poca capacità di connessione logica (difficoltà di memorizzazione e incapacità, anche temporanea, di "richiamo" dell’informazione), dovute alle cause più svariate: problemi personali del bambino, stanchezza…
5.  
6. Difficoltà di organizzazione spazio-temporale e di astrazione (evidente soprattutto nei problemi a più operazioni)

E’ ovviamente il caso più problematico, in cui il bambino va fatto recuperare individualmente o in piccolo gruppo le "tappe" saltate, poco memorizzate o poco assimilate.

Se a) o b) approfondire con lui prima i grafici e, solo in un secondo tempo, gli schemi relativi al Grafico delle Parti ed al Grafico delle Frazioni, iniziando dal primo grafico con programmi tipo Vasi ed esercizi equivalenti, in modo da proporre all’alunno la possibilità di introiettare i diversi concetti con una gradualità che ,evidentemente, a lui è mancata.

Se c) ripercorrere con lui per varie volte tappa a tappa la trasformazione dei dati in schema, avendo la precauzione di iniziare, però, con la forma iconoca (grafico con disegni o tacche, da trasformare in numeri).

ERRORE SVOLGIMENTO

Raccolta dati, ragionamento ( schema), eventuale grafico, corretti

L’alunno ha evidenziato i dati esatti, li ha inseriti nello schema dimostrando di aver compreso il passaggio logico, ha identificato l’operazione relativa all’incognita, ma ne esegue un’altra.

SCHEMA DEL PROBLEMA AD UNA OPERAZIONE

Può essere:

1.  
2. Distrazione ("pensavo a….").
3.  
4. Comprensione errata dello schema.
5.  
6. Comprensione errata dell’abbinamento operazione/ruolo logico all’interno dello schema.

Per verificare a quale dei tre casi ci troviamo davanti risulta utili chiedere all’allievo di " ritornare indietro" e di inserire i dati non più nello schema, ma nel grafico relativo, se a) non arriverà neppure a completare il disegno , comprendendo subito l’errore, se b) o c) il fatto di dover reinserire i dati per la seconda volta farà focalizzare la sua attenzione e il bambino non riuscirà ad eseguire da solo il compito solamente nel caso b) .

A questo punto l’errore va trattato come se fosse un errore di comprensione.

ERRORE OPERAZIONE

Raccolta dati, ragionamento ( schema), eventuale grafico corretti

Se la raccolta dei dati, l’inserimento degli stessi nello schema logico e l’individuazione della o delle operazioni relative sono stati corretti e l’errore è nell’operazione è un problema di tecnica operativa, va valutato, ma non riguarda il "problema".

Fa eccezione il "capovolgimento" dei termini dell’operazione stessa (45000 – 27500 che diventa 27500 – 45000).

Se ciò avviene frequentemente forse sarebbe il caso di controllare che il bambino abbia chiaramente compreso la funzione delle operazioni nello schema logico, o se invece questi concetti non sono ancora stati metabolizzati.

ERRORE DI DISTRAZIONE

Non è un errore relativo alla risoluzione del problema: va evidenziato e fatto correggere, ma non pregiudica né la logica né la capacità operativa dell’alunno.

Se si verifica spesso controllare la scrittura delle cifre da parte del bambino ed eventualmente proporre esercizi di calligrafia, chiedere alla famiglia di far controllare la vista.

USO DEL SOFTWARE DEL PROGETTO RHODA

Utilizzare il computer nella scuola non è la cosa più facile del mondo.

L'insegnante dell'area logica si trova di fronte a molteplici problemi: sia pratici sia didattici. I primi sono solitamente relativi alla vetustà delle macchine presenti nelle scuole: elaboratori di recupero, avuti in dono, ma estremamente obsoleti sia nell'hardware sia nel software. Spesso ci si trova a lavorare con vecchi PC senza neppure il disco fisso o con una capacità di memoria veramente minima, d'altro canto i programmi in vendita per la scuola elementare richiedono l'uso di Windows, la capacità di inserire CD-ROM, la possibilità di acquistare software costoso, utilizzabile solo con le "chiavi" (e che quindi "gira" su un computer per volta). E' necessario, invece, avere a disposizione uno strumento semplice, che non richieda conoscenze tecniche particolari o un lavoro di rielaborazione personale eccessivamente lungo (un minimo di riflessione personale è sempre necessario, anche per adattare il prodotto creato per altri alla situazione della classe e per introiettare regole e schemi).

I programmi del PROGETTO RHODA

I programmi del PROGETTO RHODA sono una delle soluzioni a questi problemi. Sono programmi facili da usare. Sono programmi facili da far girare, perché linguaggio che è riconosciuto da tutti i calcolatori che posseggano il sistema DOS (senza il quale l'elaboratore non funziona). Sono programmi facili da proporre alla classe, perché nati dall'esperienza di un insegnante, a diretto contatto con i bambini ogni giorno, e quindi in grado di riconoscere le vere esigenze didattiche e pedagogiche, senza inutili sovrastrutture (musichette varie, esercizi nascosti, o per meglio dire sovrastati, dal gioco...).

Sono programmi, nello stesso tempo, accattivanti per il bambino, che quindi attirano e catturano la sua attenzione, mantenendola fissa sull'esercizio per un tempo maggiore di quello solito.

All'inizio c'era scritto : Golosone ha regalato ....... ....../puffo. Sui puntini dovevi scrivere quanti dolcetti, cioccolatini o pasticcini aveva regalato ad ogni puffo, dovevi battere invio e poi dovevi scrivere quanti erano i puffi. Dopo ancora dovevi premere invio per sapere quanti cioccolatini, dolcetti o pasticcini avevi sistemato dopo ogni scatola, poi dovevi scrivere il risultato sui puntini e dopo a destra delle scatole. Infine ti veniva la scritta:

/=INIZIO *=ESCO

Jessica (classe seconda)

Daniele (classe seconda)

teorica ben salda.