Emilio Brengio ** Progetto Rhoda 'numeri con qualità'
Ecco il software con i 44 problemi: ******* 44 PROBLEMI A 2 OPERAZIONI
Perché i possibili problemi a due operazioni sono 44?
Visto che le operazioni sono quattro, combinandole tra di loro, la risposta corretta sembrerebbe 16.
Per analizzare i problemi a due operazioni è necessario partire da quelli ad una operazione.
Propongo di adottare per comodità di visualizzazione i seguenti 5 modelli.
ADDIZIONE
x kg INSIEME
SOTTRAZIONE
x kg mele PARTE
MOLTIPLICAZIONE
x kg INSIEME FRAZIONARIO
12 CASSE INSIEME DI RIFERIMENTO
DIVISIONE PER CALCOLARE
x kg / CASSA FRAZIONE
12 CASSE INSIEME DI RIFERIMENTO
DIVISIONE PER CALCOLARE L'INSIEME DI RIFERIMENTO
x CASSE INSIEME DI RIFERIMENTO
10 kg/CASSA FRAZIONE
I 5 schemi rappresentano tutti i problemi ad una operazione, escludendo la moltiplicazione di tipo combinatorio.
Nel problema i due tipi di divisione sono ben distinti (rispondono rispettivamente alle domande: 'Quanti kg per cassa?' e 'Quante casse?') quindi non si tratta più di combinare 4, ma 5 problemi diversi tra di loro.
Per comodità evidenziamo i ruoli logici assegnati ad ogni numero nei 5 diversi schemi-problema:
operazioni: moltiplicazione e divisione
INSIEME DI RIFERIMENTO, FRAZIONE, INSIEME FRAZIONARIO
Operazioni: addizione e sottrazione
INSIEME, PARTE
LE COMBINAZIONI DEI CINQUE SCHEMI
Nei problemi a due operazioni si attua una combinazione tra i cinque schemi-problema, e quindi dovremmo avere 5x5 combinazioni diverse. Considerando però che l'addizione combinata con se stessa diventa un'addizione a tre addendi, i problemi a due operazioni sembrerebbero 24.
E' utile esaminare meglio la situazione, non accontentarci delle sole sequenze delle operazioni, per scoprire che le cose non stanno così.
Esaminiamo due problemi risolvibili rispettivamente con queste due espressioni:
450 - 30 x 10 =........ e 45 x 10 - 300 = ......
In ambedue i casi devo eseguire prima la moltiplicazione e poi la sottrazione. Però la moltiplicazione 30 x10 serve per calcolare il valore di una PARTE, mentre la moltiplicazione 45x10 serve per calcolare il valore dell'INSIEME. Non cambia la domanda finale del problema, cambia la prima domanda (implicita od esplicita che sia).
La domanda finale dei due problemi potrebbe essere 'Quanti kg posso ancora caricare sul furgone?'
Nel primo caso con 30x10 scopro quanti kg ho
già caricato e so che il furgone ha una portata
Devo quindi considerarli due problemi diversi pur avendo la medesima sequenza di operazioni.
Quindi non basta tenere conto delle possibili combinazioni dei segni delle operazioni per determinare il numero possibile dei problemi a due operazioni.
Le due espressioni esaminate presentano ambedue la combinazione della moltiplicazione con la sottrazione, e nel medesimo ordine di esecuzione, ma risolvono due problemi diversi.
Esaminiamo altri due testi.
Problema n. 19 di 44
Ugo ha preparato 800 scatole di cui 200 rosse e le altre gialle.
Spedisce a Roma le scatole gialle. In ogni scatola mette 6 vasi.
(Quante scatole spedisce a Roma?)
Quanti vasi spedisce a Roma?
6 x (800 - 200)
vasi / scatola x scatole gialle
Problema n. 20 di 44
Giorgio in ogni scatola ha messo 800 vasi di cui 200 blu e gli altri rossi. Ha confezionato 6 scatole da mandare a Roma.
(Quanti vasi rossi per scatola?)
Quanti vasi rossi spedisce a Roma?
(800 - 200) x 6
vasi rossi / scatola x scatole (Roma)
La domanda intermedia ('Quante scatole spedisce a Roma?' nel primo 'Quanti vasi rossi per scatola?' nel secondo) evidenzia la diversità, sul piano merceologico, dei due problemi che vanno risolti con le medesime operazioni e nel medesimo ordine, prima sottrazione poi moltiplicazione.
Quindi anche in questo caso le medesime sequenze di due operazioni sono legate a due problemi diversi.
In tutti i problemi a due operazioni la domanda intermedia offre due diverse possibilità sul piano logico.
Questo non accade con l'addizione come operazione finale perché l'incognita intermedia è comunque una PARTE.
Nella combinazione delle altre quattro
operazioni (sottrazione, moltiplicazione, divisione di partizione e divisione
di contenenza) l'incognita intermedia può essere diversa:
Quindi, dei 24 problemi diversi individuati all'inizio, 4, quelli con addizione finale, non hanno possibili variazioni. Gli altri 20 si sdoppiano.
Pertanto i possibili problemi a due operazioni sono 44.
Stabilito questo, si tratta ora di individuare una strategia che permetta di inventare 44 problemi diversi a due operazioni.
Ecco il software con i 44 problemi: