Leggi, relazioni, rapporti sono esprimibili solo con simboli arbitrari e convenzionali, oppure si possono offrire, prima del simbolo, strumenti ancora significanti senza essere legati alla rappresentazione di oggetti o alle variabili dell'espressione linguistica? Come avere punti più avanzati di validazione dell'intervento didattico? L'altro aspetto del Progetto Rhoda è quello di permettere la liberazione della lingua da un uso ancillare rispetto alla matematica. Una lingua che non sia obbligata a servire da strumento di guida verso la soluzione del problema, ma che possa raccontare con tutta la sua possibile autonomia. Le storie che i bambini inventano sul problema ne rispettano la logica della struttura matematica, ma sono una diversa dall'altra. Favoriscono l'inserimento, nella matematica, del mondo della fantasia e degli affetti. Scrivere delle storie per leggerle ai compagni. Ascoltare le storie dei compagni e averne stimolo per le proprie. Scrivere perché si ha qualcosa da dire. Poter raccontare se stessi anche mentre si fa matematica, senza dover aspettare di poterlo fare solo con i bambolotti. Vivere la matematica come aspetto integrante della propria vita, non come momento separato e a volte angosciante.

PAROLE CHIAVE DEL PROGETTO RHODA PER IL LAVORO CON I PROBLEMI

Parola chiave n 1

VERBALIZZARE IL PROBLEMA

• Utilizzare verbi diversi per costruire problemi diversi dal punto di vista pratico, ma uguali dal punto di vista matematico.

• Saper leggere le diverse presentazioni matematiche del problema, seguendo così una procedura inversa rispetto al consueto passaggio dal racconto linguistico alla soluzione.

• Guidare a raccontare la struttura del problema partendo da punti diversi (cioè da parole-problema o numeri diversi) nel raccontarlo.

• Il problema può essere raccontato in due modi:

1 col minimo di parole possibile

2 con una storia a volontà

Di questa attività si possono vedere esempi ai collegamenti

http://www.rhoda.it/storie/sara/sara.htm

http://www.rhoda.it/testi_probl.html

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PAROLE CHIAVE DEL PROGETTO RHODA PER IL LAVORO CON I PROBLEMI

Parola chiave n 2

PROBLEMATIZZARE IL PROBLEMA

Come si può fare per far diventare problematico un problema aritmetico?

Di per sé il problema aritmetico è problemico non problematico: non ammette scelte, esige una e una sola soluzione. Si può lavorare per problemi anche col problema aritmetico? No, se si offre al bambino un problema aritmetico nella maniera tradizionale, deve solo interpretarlo, non ha diversi percorsi possibili. Per fare in modo che il problema aritmetico diventi problematico occorre proporgli di costruirlo.

Per costruirlo dobbiamo fare prima un progetto, scegliere cioè quale operazione o quale sequenza di operazioni vogliamo costruire. Dopo questa scelta occorre scegliere l’unità o le unità di misura, naturali (mele, pere..) o convenzionali (litri, metri..), nel caso delle misure convenzionali occorre decidere anche la merce ( per metri va bene rete, per litri va bene acqua, per euro ….). Alcune scelte sono libere, altre meno libere, altre ancora invece sono obbligate, ecco l’aspetto problematico del lavoro sul problema. Anche la scelta dei numeri presenta le medesime caratteristiche di scelte libere, altre parzialmente libere e altre totalmente vincolate (quelle legate al risultato delle operazioni).

COLLEGAMENTI

Decodificare e costruire problemi ad una operazione

http://www.rhoda.it/PER_TIX.htm

Laboratorio di costruzione di problemi partendo da un numero

http://www.rhoda.it/laboratori/lab2009/certosa/IV_C_CERTOSA.htm

Scheda con struttura di problema a due operazioni: la struttura genera quattro problemi presentati su schemi logici.

Ogni schema logico presenta un problema, la rappresentazione grafica invece non varia e accetta ciascuno dei quattro problemi. Al bambino può essere chiesto di sistemare i numeri di ogni schema logico nel grafico logico.

http://www.rhoda.it/laboratori/lab2009/sche_govi_1.doc

costruzione di problemi a due operazioni

http://www.rhoda.it/laboratori/lab2009/TOMMASEO/tommaseo4_1.html

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Parola chiave n 3

RAPPRESENTAZIONE GRAFICO-LOGICA

DEL PROBLEMA ARITMETICO

Con il termine di rappresentazione-grafico logica del problema aritmetico si intende non una qualunque possibile rappresentazione di esso.

Caratteristiche della rappresentazione grafico-logica del

PROGETO RHODA

Le sue caratteristiche sono:

prescindere dal disegno

avere elementi logici di cui quelli grafici sono la rappresentazione

accettare qualunque merce e qualunque numero

evidenziare le relazioni quantitative

evidenziare le relazioni merceologiche

avere un’unica rappresentazione per la struttura additiva (addizione e sottrazione)

avere un’unica rappresentazione per la struttura moltiplicativa (moltiplicazione e le due divisioni)

rappresentare il problema utilizzando solo i numeri

rappresentare il problema utilizzando solo le parole

rappresentare il problema utilizzando i numeri e le parole

permettere la combinazione delle due strutture base in modo da poter rappresentare qualunque problema a due e tre operazioni

COLLEGAMENTI

Rappresentazione grafico-logica della struttura additiva e di quella moltiplicativa. Combinando i due moduli base si possono costruire tutti i problemi a due e a tre operazioni

http://www.rhoda.it/definizione1.htm

Rappresentazione della struttura additiva (Power Point)

Rappresentazione della struttura moltiplicativa

http://www.rhoda.it/2016PPT/rapp-moltiplicativa.ppt

CORSO RHODA IN RETE

didattica delle operazioni e del problema ad una operazione

In questo lavoro abbiamo: presentazione linguistica senza numeri della struttura di un problema a due operazioni, una delle possibili presentazioni matematiche del singolo problema, la rappresentazione grafico-logica con i quattro problemi generati dalla struttura matrice.

http://www.rhoda.it/laboratori/lab2009/TOMMASEO/tommaseo4_1.html

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PROGETTO RHODA

Parola chiave n 4

PRESENTAZIONI MATEMATICHE

DEL PROBLEMA ARITMETICO

Le presentazioni matematiche del problema giocano un ruolo importante perché permettono diverse possibilità di lavoro.

Esiste la possibilità di proporre presentazioni senza bisogno di numeri, come vedremo, per ora utilizziamo anche i numeri.

Problemi ad una operazione.

1 Struttura additiva

4 mele rosse °°°°

6 mele verdi °°°°°°

10 mele

Non ci sono segni , posso far leggere in diversi modi:

- Tutte le mele sono dieci, quattro sono …………, sei sono…..

- Avevo dieci mele, ho mangiato quelle rosse, mi sono rimaste ……

- Devo comprare dieci mele di cui quattro rosse e le altre verdi.

- Ho sei mele verdi e quattro rosse.

- Quattro più sei uguale dieci.

- Dieci meno sei uguale quattro.

- Da quattro per arrivare a dieci ne servono sei.

2 Struttura MOLTIPLICATIVA

2 palline per scatola

3 scatole

6 palline

Leggere la struttura senza segni

- Ho ….. palline, le devo mettere in … scatole, ne metto …. per scatola

- Ho ….. scatole di palline, le apro, ce ne sono …. per scatola, tutte le palline sono….

- In ogni scatola metto …. palline, riempio ….. scatole, mi servono …. palline.

Problemi a due operazioni

Esistono diverse possibili presentazioni del problema a due operazioni, questa è la più completa per esplorare con gli alunni:

- tutti i punti di vista possibili

- le operazioni dirette

- le operazioni inverse

- i racconti linguistici

- le variazioni merceologiche

50 +150 ↔ 200 ↔ 50 * 4

Come leggere questa combinazione di struttura additiva e struttura moltiplicativa che origina quattro problemi a due operazioni?

50 kg mele rosse, 150 kg mele verdi, 200 kg mele , 50 kg / cassa, 4 casse

50 litri menta, 150 litri pompelmo, 200 litri, 50 litri / recipiente, 4 recipienti

Giorgio ha comprato 200 kg di mele di cui …….

La fabbrica deve produrre 200 litri di bibite, li mette in …. recipienti da …

Altri problemi a due operazioni

350 -150↔200 ↔ 50 * 4

350 euro, 150 euro rimasti, 200 euro spesi, 50 euro/pantalone, 4 pantaloni

600 :3↔200 ↔ 50 * 4

600 metri di rete, 3 giorni, 200 metri /giorno, 50 metri/rotolo, 4 rotoli (al giorno)

Collegamenti ad argomenti analoghi nel sito RHODA.IT

Presentazione .ppt

http://www.rhoda.it/2016PPT/p-add-presentazione.ppsx

http://www.rhoda.it/storie/sara/sara.htm

Laboratorio sui problemi a due operazioni

http://www.rhoda.it/laboratori/lab2009/certosa/IV_C_CERTOSA.htm

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PROGETTO RHODA

Parola chiave n 5

PRESENTAZIONI LINGUISTICHE SENZA NUMERI

La presentazione dei problemi senza l’uso dei numeri è una delle prerogative peculiari del Progetto Rhoda. Questa modalità permette di:

- Obbligare alla motivazione nella scelta delle operazioni

- Concentrare l’attenzione sul ruolo logico delle parole-problema

- Impedire la prevalenza del numero

Presentazioni solo linguistiche della STRUTTURA ADDITIVA

LATTINE (tutte)

LATTINE ARANCIATA

LATTINE POMPELMO

Racconto

(Possiamo raccontare la situazione prima senza i segni e introdurli quando riteniamo che ne sia stato compreso il significato.)

Ho comprato delle lattine di aranciata e delle lattine di pompelmo.

LATTINE ARANCIATA più LATTINE POMPELMO uguale LATTINE (tutte)

LATTINE ARANCIATA + LATTINE POMPELMO = LATTINE (tutte)

Abbiamo bevuto tutte le lattine di aranciata, sono rimaste quelle di …..

LATTINE meno LATTINE ARANCIATA = ………

LATTINE - LATTINE ARANCIATA = ………

Abbiamo bevuto tutte le lattine di pompelmo, sono rimaste quelle di …..

LATTINE meno LATTINE POMPELMO = ………

LATTINE – LATTINE POMPELMO = ………

***********

Presentazioni solo linguistiche della STRUTTURA MOLTIPLICATIVA

SCATOLE

MATITE PER SCATOLA

MATITE (tutte)

Racconto

(Possiamo raccontare la situazione prima senza i segni e introdurli quando riteniamo che ne sia stato compreso il significato.)

Ho delle scatole con il medesimo numero di matite.

Ho delle matite, le metto in scatole uguali.

Ogni scatola ha il medesimo numero di matite.

Apro le scatole e conto tutte le matite.

Divido le matite nelle scatole.

Altre situazioni merceologiche

SACCHETTI, PALLINE (tutte), PALLINE DI OGNI SACCHETTO

BUSTINE, FIGURINE DI OGNI BUSTINA, FIGURINE (tutte)

GRADINI DI OGNI SCALA, SCALE, GRADINI (tutti)

Osservazioni

1 Variare la posizione delle parole-problema è funzionale ad evitare la fissazione su un unico modello e anche a costruire i concetti delle operazioni

2 Usare contenitori standard come scatole, bustine, sacchetti, confezioni presenti nell’esperienza del bambino rafforza il concetto di dover operare con numeri uguali (quelli da mettere nei contenitori)

I concetti di operazione da costruire con la struttura moltiplicativa sono più complessi rispetto alla struttura additiva.

PALLINE DI OGNI SACCHETTO per SACCHETTI uguale PALLINE (tutte)

PALLINE DI OGNI SACCHETTO x SACCHETTI = PALLINE (tutte)

PALLINE diviso SACCHETTI uguale PALLINE DI OGNI SACCHETTO

PALLINE : SACCHETTI = PALLINE DI OGNI SACCHETTO

PALLINE diviso PALLINE DI OGNI SACCHETTO uguale SACCHETTI

PALLINE : PALLINE DI OGNI SACCHETTO = SACCHETTI

Altre osservazioni

Lavorare senza numeri permette di utilizzare le capacità logiche del bambino a prescindere dalle sue capacità strumentali rispetto ai numeri.

Presentazione linguistica di problemi A DUE OPERAZIONI

http://www.rhoda.it/pro_schede/VASI_1.doc

Nella scheda di cui al link sono presenti i numeri, ma i problemi sono già risolti, si richiede di trasformare la presentazione matematica in racconto linguistico.

http://www.rhoda.it/pro_schede/complesso.doc

Nella scheda di cui al link viene proposta una esemplificazione di intreccio tra domande a cui rispondere con parole o con numeri. E’ un lavoro che guida al ragionamento logico senza dover eseguire calcoli.

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PROGETTO RHODA

Parola chiave n 6

SCHEMI LOGICI DELLE OPERAZIONI

SCHEMA LOGICO DELLA STRUTTURA ADDITIVA	SCHEMA LOGICO DELLA STRUTTURA MOLTIPLICATIVA

Unità di misura naturali	Unità di misura naturali

PALLINE BIANCHE	PALLINE/ SCATOLA
PALLINE NERE	SCATOLE
PALLINE	PALLINE

Unità di misura convenzionali	Unità di misura convenzionali
Kg	Kg
Kg MELE	Kg / CASSA
Kg PERE	CASSE

Lo schema logico sia della struttura additiva che di quella moltiplicativa si compone di tre parole-problema. Le informazioni che se ne ricavano riguardano le unità di misura e la merce, dove ‘pallina’ è sia unità di misura che merce.

Lo schema additivo deve avere un’unica unità di misura, quello moltiplicativo due.

Ogni schema logico della struttura additiva ammette sia addizione che sottrazione.

Ogni schema logico della struttura moltiplicativa ammette sia moltiplicazione che divisione.

Al link seguente indicazioni sull’uso didattico dello schema logico

http://www.rhoda.it/storie/sara/sara.htm

GLI SCHEMI LOGICI NEI PROBLEMI A DUE OPERAZIONI

Il problema a due operazioni non è che la combinazione di due schemi logici.

PRIMO SCHEMA LOGICO
X KG MELE	Quanti kg di mele ho raccolto
Y CASSE	se ho riempito delle casse
25 KG / CASSA	da 25 kg ciascuna
SECONDO SCHEMA LOGICO
Y CASSE
20 CASSE martedì
30 CASSE mercoledì

I due schemi hanno un numero in comune, in questo caso y CASSE. Ciascuna delle altre parole problema può diventare la domanda finale di un problema. Quindi questa matrice genera 4 problemi.

SECONDO PROBLEMA
PRIMO SCHEMA LOGICO
600 KG MELE	Ho raccolto 600 kg di mele
Y CASSE	E le ho messe in casse di uguale peso.
X KG / CASSA	Quanti kg di mele in ogni cassa?
SECONDO SCHEMA LOGICO
Y CASSE
20 CASSE martedì	Al martedì ho riempito 20 casse
30 CASSE mercoledì	Al mercoledì ho riempito 30 casse

TERZO PROBLEMA
PRIMO SCHEMA LOGICO
Y CASSE
X CASSE martedì	Quante casse ho riempito al martedì?
30 CASSE mercoledì
SECONDO SCHEMA LOGICO
600 KG MELE
Y CASSE
20 KG / CASSA

QUARTO PROBLEMA
PRIMO SCHEMA LOGICO
Y CASSE
50 CASSE martedì
X CASSE mercoledì	Quante casse ho riempito al mercoledì?
SECONDO SCHEMA LOGICO
600 KG MELE
Y CASSE
20 KG / CASSA

A QUESTI LINK ALTRE ESEMPLIFICAZIONI

http://www.rhoda.it/settimana/prima2.htm

http://www.rhoda.it/settimana/presenta.html

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PROGETTO RHODA

Parola chiave n 7

PAROLE-PROBLEMA

Nell’impostazione del lavoro sui problemi proposto dal PROGETTO RHODA l’individuazione delle parole-problema è fondamentale.

Nella struttura additiva le tre parole-problema definiscono la situazione che può essere raccontata, anche senza numeri, in diversi modi.

Ho comprato delle palline nere e altre bianche.

Devo fabbricare delle palline, alcune bianche altre nere.

Avevo delle palline, ho perso quelle bianche, mi sono rimaste le nere.

STRUTTURA ADDITIVA

PAROLE PROBLEMA

PALLINE BIANCHE

PALLINE NERE

PALLINE

Assegnando tutti i numeri abbiamo il problema svelato

STRUTTURA ADDITIVA

PAROLE PROBLEMA E NUMERI

5 PALLINE BIANCHE

4 PALLINE NERE

9 PALLINE

Questa presentazione del problema permette di analizzare le relazioni tra i numeri.

Assegnando due numeri a scelta costruiamo il classico problema con la domanda.

Primo problema	Secondo problema

x PALLINE BIANCHE	5 PALLINE BIANCHE
4 PALLINE NERE	x PALLINE NERE
9 PALLINE	9 PALLINE

Terzo problema

5 PALLINE BIANCHE
4 PALLINE NERE
x PALLINE

La struttura moltiplicativa

Nella struttura moltiplicativa abbiamo due unità di misura, lattine e scatole in questo caso.

La fabbrica deve riempire delle scatole con lo stesso numero di lattine.

STRUTTURA MOLTIPLICATIVA

PAROLE PROBLEMA

LATTINE/ SCATOLA

SCATOLE

LATTINE

Assegnando tutti i numeri abbiamo il problema svelato

STRUTTURA MOLTIPLICATIVA

PAROLE PROBLEMA

4 LATTINE/ SCATOLA

3 SCATOLE

12 LATTINE

Questa presentazione del problema permette di analizzare le relazioni tra i numeri.

Se metto 4 lattine per scatola e riempio 3 scatole, mi servono 12 lattine. (4 x 3)

Se voglio mettere 12 lattine in 3 scatole, ne devo mettere 4 per scatola. (12 : 3)

Se voglio mettere 12 lattine 4 per scatola mi servono 3 scatole. (12 : 4)

Assegnando due numeri a scelta costruiamo il classico problema con la domanda.

Primo problema	Secondo problema

x LATTINE/ SCATOLA	4 LATTINE/ SCATOLA
3 SCATOLE	x SCATOLE
12 LATTINE	12 LATTINE

Terzo problema

4 LATTINE/ SCATOLA
3 SCATOLE
x LATTINE

Assegnare le parole-problema ad un’espressione

http://www.rhoda.it/prob2/pere1.ppt

ASSEGNARE LE PAROLE-PROBLEMA (ESPRESSIONE a 3 operazioni)

ASSEGNARE LE PAROLE-PROBLEMA (ESPRESSIONE a 4 operzionni)

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PROGETTO RHODA

PAROLA CHIAVE N 8

LE DUE STRUTTURE LOGICHE

– STRUTTURA ADDITIVA – STRUTTURA MOLTIPLICATIVA –

1 STRUTTURA ADDITIVA

La rappresentazione grafico-logica della struttura additiva ci permette di unificare in un unico concetto addizione e sottrazione.

Link al sito rhoda

Rappresentazione della struttura additiva (Power Point)

2 La struttura moltiplicativa

La rappresentazione grafico-logica della struttura moltiplicativa ci permette di unificare in un unico concetto moltiplicazione e divisione.

link

La struttura moltiplicativa (POWER POINT)

Per una trattazione completa vedere

didattica delle operazioni e del problema ad una operazione

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PROGETTO RHODA

PAROLA CHIAVE N 9

ELEMENTI LOGICI DELLE DUE STRUTTURE

(GIUSTIFICARE L’OPERAZIONE)

Gli elementi logici servono per giustificare la scelta dell’operazione.

Se devo calcolare l’INSIEME addiziono.

PARTE + PARTE = INSIEME

Se devo calcolare una PARTE sottraggo.

INSIEME – PARTE = PARTE

Gli elementi logici servono per giustificare la scelta dell’operazione.

Se devo calcolare l’INSIEME FUNZIONE moltiplico.

FRAZIONE x INSIEME NUMERATORIO = INSIEME FUNZIONE

Se devo calcolare la FRAZIONE divido.

INSIEME FUNZIONE : INSIEME NUMERATORIO = FRAZIONE

Se devo calcolare l’INSIEME NUMERATORIO divido.

INSIEME FUNZIONE : FRAZIONE = INSIEME NUMERATORIO

Se la giustificazione dell’operazione fa riferimento agli elementi LOGICI dei grafici rhoda si ha la possibilità semplificare il mondo delle operazioni. Sarà meno facile che il bambino scelga una qualunque delle operazioni, se riusciamo a dimostragli che prima dell’operazione dobbiamo individuare a quale struttura matematica la situazione fa riferimento, se a quella additiva o a quella moltiplicativa.

Se fa riferimento alla struttura additiva le scelte possibili sono: più o meno.

Se fa riferimento alla struttura moltiplicativa le scelte possibili sono: per o diviso.

Link

Rappresentazione della struttura additiva (Power Point)

didattica delle operazioni e del problema ad una operazione

La struttura moltiplicativa (POWER POINT)

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PROGETTO RHODA

PAROLA CHIAVE N 10

FAMIGLIE DI PROBLEMI

Ogni problema ad una operazione può essere espresso con le due operazioni inverse.

Se 6 + 4 =10 allora vuol dire che 10 - 4 = 6, ma anche che 10 – 6 = 4.

Se 6 x 4 = 24 allora vuol dire che 24 : 4 = 6, ma anche che 24 : 6 = 4.

Famiglie di 3 problemi (struttura additiva)

Esaminiamo le seguenti frasi.

Fabbricare palloni da calcio e da basket.

Trasportare scatole di banane e scatole di ananas.

Ciascuna di queste attività prevede la possibilità di assegnare tre numeri, per esempio:

20 palloni, 15 palloni da calcio, 5 palloni da basket

30 scatole di banane, 10 di ananas, 40 scatole

Ciascuno dei tre numeri può essere calcolato conoscendo gli altri due.

Ognuna delle situazioni di cui sopra e di quelle simili prevede la possibilità di dare origine a tre problemi, di cui uno con addizione e gli altri due con sottrazione.

Famiglie di 3 problemi (struttura moltiplicativa)

Esaminiamo le seguenti frasi.

Fabbricare borsette bianche e metterle in scatole uguali.

Riempire dei cestelli di bibite.

Contare i gradini di scale uguali.

Ciascuna di queste attività prevede la possibilità di assegnare tre numeri, per esempio:

12 borsette, 3 borsette/scatola, 4 scatole

6 bibite/cestello, 18 bibite, 3 cestelli

5 scale, 20 gradini/scala, 100 gradini

Ciascuno dei tre numeri può essere calcolato conoscendo gli altri due.

Ognuna delle situazioni di cui sopra e di quelle simili prevede la possibilità di dare origine a tre problemi, di cui uno con moltiplicazione, uno con divisione di partizione e uno con divisione contenenza.

Famiglie di 4 problemi.

Ogni problema a due operazioni appartiene ad una famiglia di 4 problemi.

Esaminiamo la seguente situazione di lavoro

La fabbrica ha prodotto delle candele al martedì e altre al mercoledì e le ha messe in scatole uguali.

La fabbrica ha riempito delle scatole uguali di palline rosse e di palline bianche.

Ciascuna di queste attività prevede la possibilità di assegnare cinque numeri, per esempio:

100 scatole di candele, 40 scatole di candele del martedì, 60 scatole di candele del mercoledì, 10 candele/scatola, 1000 candele tutte.

40 + 60 ↔100 ↔ 1000 : 10

Come evidenziato, il numero 100 è il risultato sia di un’addizione che di una divisione. È il numero in comune alle due operazioni. Se uno degli altri quattro numeri è incognito può essere calcolato con due operazioni.

40 + 60 = 1000 : 10

Quante sono le scatole del martedì? X = (1000 : 10) - 60

Quante sono le scatole del mercoledì? X = (1000 : 10) – 40

Quante sono tutte le candele? X = (40 + 60) * 10

Quante sono le candele per scatola? X = 1000 : (40 + 60)

Se vogliamo esplicitare il numero in comune alle due operazioni (in questo caso 100) possiamo presentare i quattro problemi in tabella.

		Prob 1	Prob 2	Prob 3	Prob 4
		n. candele?	n.sc. mer.?	n. sc mar.?	n.ca./sc.
SCATOLE	100	y	y	y	y
SCATOLE MERC	40	40	x	40	40
SCATOLE MART	60	60	60	x	60
CAND/SCATOLA	10	10	10	10	x
CANDELE	1000	x	1000	1000	1000

La y indica la domanda implicita nella domanda finale indicata dalla lettera x.

Al link

Quanti sono i possibili problemi a due operazioni?

LE STRUTTURE GENERATRICI DI PROBLEMI

ALTRO PROBLEMA A DUE OPERAZIONI

2250 + 2970 ↔ 5220 ↔ 90 * 58

In questo caso, come evidenziato, il numero 5220 è il risultato sia di un’addizione che di una moltiplicazione. È il numero in comune alle due operazioni. Se uno degli altri quattro numeri è incognito può essere calcolato con due operazioni.

LA FABBRICA PRODUCE DELLE LATTINE DI FANTA E DELLE LATTINE DI SPRITE CHE VENGONO MESSE IN SCATOLE UGUALI
		LUNEDI’	MARTEDI’	MERCOLEDI’	GIOVEDI’
LATTINE	5220	y =45 * 96	y = 85 *30	y = 504 + 696	y = 1650 + 2130
LATTINE FANTA	2250	x = y - 2688	1155	504	1650
LATTINE SPRITE	2970	2688	x = y - 1155	696	2130
SCATOLE	58	48	85	x = y : 24	63
LATTINE / SCATOLA	90	96	30	24	x = y : 63

Famiglie di 5 problemi.

Ogni problema a tre operazioni appartiene ad una famiglia di 5 problemi.

Qualunque problema a tre operazioni fa parte di una famiglia di cinque problemi.

1000 = 80 * 50 – 100 * 30

Assegniamo all’espressione a tre operazioni le parole-problema.

La fabbrica ha prodotto delle scarpe da calcio e da tennis, quelle da tennis sono state messe in scatoloni uguali.
	Parole-problema	Prob 1	Prob 2	Prob 3	Prob 4	Prob 5
1000	SCARPE CALCIO	x	1000	1000	1000	1000
80	SCARPE/ GIORNO	80	x	80	80	80
50	GIORNI	50	50	x	50	50
4000	SCARPE	y	y	y	y	y
100	SCAT.SC. TENNIS	100	100	100	x	100
30	SC.TENNIS/ SCAT	30	30	30	30	x
3000	SCARPE TENNIS	z	z	z	z	z

Domande finali di ogni problema (le due domande intermedie sono sempre ‘quante scarpe in tutto? (y)’ e ‘ quante scarpe da tennis? (z).

Prob 1 Quante scarpe da calcio?

Prob 2 Quante scarpe / giorno?

Prob 3 Quanti giorni?

Prob 4 Quanti scatoloni di scarpe da tennis?

Prob 5 Quante scarpe da tennis / scatolone?

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Parola chiave n 11

OPERAZIONI TRA PAROLE

Struttura additiva

Lavorare con operazioni tra parole-problema permette di isolare la logica dal calcolo.

MELE ROSSE + MELE VERDI = MELE

Proponiamo le parole-problema senza alcun segno per ragionare sulle possibili operazioni.

MELE ROSSE MELE VERDI MELE

Quali operazioni sono possibili?

MELE ROSSE + MELE VERDI = MELE MELE VERDI + MELE ROSSE = MELE

MELE - MELE VERDI = MELE ROSSE MELE - MELE ………….= MELE VERDI

Proponiamo anche parole-problema non complete.

SCIARPE GIALLE SCIARPE BLU

Proponiamo anche situazioni in cui occorre individuare la parola comune.

Vogliamo fare un’addizione in cui ci siano le parole

CUCCHIAI E FORCHETTE

Come possiamo fare? Guidiamo alla scoperta della parola POSATE

POSATE POSATE CUCCHIAI POSATE FORCHETTE

+++++++++++++++++++++++++++++++++

Struttura moltiplicativa

Ho comprato delle bustine di figurine.

BUSTINE FIGURINE FIGURINE/BUSTINA

Quali operazioni posso fare?

FIGURINE : FIGURINE/BUSTINA = BUSTINE

FIGURINE : BUSTINE = FIGURINE/BUSTINA

FIGURINE/BUSTINA X BUSTINE = FIGURINE

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Parola chiave n 12

– AUTONOMIA

Le proposte di lavoro sui problemi consentono la massima autonomia di lavoro da parte del bambino, la personalizzazione del lavoro.

http://www.rhoda.it/erickson/relazione.htm

http://www.rhoda.it/diff/storie.htm

http://www.rhoda.it/testi_probl.html

Offrire al bambino la reale possibilità di lavorare in autonomia è stata una costante nelle mie proposte di laboratori sui problemi. Ritengo di aver individuato percorsi abbastanza stimolanti. Ai bambini cerco di dare indicazioni che permettano loro di costruire un prodotto che rispetti i vincoli indicati. A volte si tratta di assegnare dei numeri ad una struttura (linguistica, logica, grafico-logica, solo grafica). La scelta è completamente libera per quanto riguarda il primo numero. Nella scelta del secondo ci possono essere dei limiti oppure no: non ci sono limiti se stiamo assegnando un addendo, un fattore o un dividendo. Nell’assegnare un minuendo, un sottraendo o un divisore ci sono ovviamente da rispettare dei limiti, restano comunque ampi spazi di scelta. Il massimo di autonomia lo otteniamo se diamo l’indicazione di non eseguire nessun calcolo, ma di indicare solo l’operazione.

Costruire problemi ad una operazione

Ecco un esempio di lavoro con la struttura additiva:

proposta di lavoro: assegna due numeri a due di queste parole, per la terza scrivi l’operazione:

……………… PALLINE ……………….. PALLINE ROSSE …………………… PALLINE VERDI

………………PALLINE ………………..PALLINE ROSSE …………………… PALLINE VERDI

……20…… PALLINE ……12………….. PALLINE ROSSE ………20 -12…………… PALLINE VERDI

………30………PALLINE 30 -14…………..PALLINE ROSSE ……14………… PALLINE VERDI

……16+18…………PALLINE ……16………..PALLINE ROSSE …………18………… PALLINE VERDI

OSSERVAZIONI

Il primo approccio va fatto alla lavagna con i bambini che a turno vanno a scrivere un numero, quando uno sbaglia non si danno spiegazioni, ma si invita il compagno seguente a correggere.

In questo lavoro sono implicate diverse competenze che intendiamo far acquisire. Eccone alcune:

1 la posizione delle parole non ha alcuna importanza,

2 la relazione INSIEME > PARTE,

3 l’ultima parola cui assegnare il numero non è necessariamente l’ultima della riga,

4 un numero può essere scritto in diversi modi anche con un’operazione (poi vedrà che è possibile scriverlo anche con più di una),

5 possiamo inventare un problema con tre parole,

6 la parola PALLINE si ripete tre volte, una volta è sola, le altre due volte ha un aggettivo,

7 ogni riga è una storia, un problema, che facciamo raccontare,

8 il bambino viene guidato a scrivere da solo le tre parole,

9 promuovere l’attenzione del bambino non motivando il suo errore, ma proponendo al compagno successivo la correzione; in questo modo anche i compagni a posto sono stimolati a stare attenti perché potrebbe capitare a loro di dover correggere e comunque dovranno esporsi ed evitare di sbagliare.

Ecco un esempio di lavoro con la struttura moltiplicativa:

proposta di lavoro: assegna il numero a due di queste parole, per la terza scrivi l’operazione al posto della lettera x:

……X……… PALLINE ……………….. SCATOLE …………………… PALLINE / SCATOLA

……………… PALLINE ……X…….. SCATOLE …………………… PALLINE / SCATOLA

……………… PALLINE ……………….. SCATOLE ………X…… PALLINE / SCATOLA

……8 x 4……… PALLINE ………8……….. SCATOLE …………4………… PALLINE / SCATOLA

…40…… PALLINE ………5…….. SCATOLE ………40 : 5…………… PALLINE / SCATOLA

……30………… PALLINE ………3……….. SCATOLE ………30 : 3…………… PALLINE / SCATOLA

Racconta le tre storie.

Per esempio:

Pinocchio ha riempito 8 scatole, in ogni scatola ha messo 4 palline. Tutte le paline sono 8x4.

OSSERVAZIONI

Proponiamo di far scrivere l’operazione, invece del risultato, affinché il bambino possa lavorare con la massima autonomia, potendo scegliere anche numeri molto alti (se vuol conoscere il risultato, può farlo usando la calcolatrice).

E’ importante individuare un percorso che permetta di stimolare il bambino a ragionare sulla logica, sulle relazioni tra le parole-problema, quindi sull’operazione necessaria.

Costruire problemi a due operazioni

Anche nella costruzione di problemi a due e tre operazioni possono essere salvaguardati gli stessi obiettivi di autonomia del bambino.

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Parola chiave n 13

– NUMERI CON QUALITA’ –

Elemento di raccordo tra le diverse proposte di lavoro del Progetto Rhoda è quello di evitare che il numero sia un puro numero, ma sia sempre considerato in rapporto all’unità di misura e alla merceologia. Questo per ottenere due vantaggi. Ci sono bambini ai quali i numeri non dicono niente, cerchiamo di rendere interessante il numero facendolo diventare sempre parte di una storia. Ci sono invece bambini ai quali i numeri offrono certezze, le certezze di un mondo chiuso in cui muoversi. Per questi bambini sentire raccontare delle storie legate ai numeri può costituire l’occasione per riconciliarsi col mondo delle parole.

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Parola chiave n 14

– MATRICI DI PROBLEMI –

Con il termine ‘matrice di problemi’ intendo una struttura matematica che può essere percorsa in diverse direzioni e avere quindi punti di partenza e punti da arrivo diversi. A livello di scuola elementare possiamo proporre questa attività utilizzando espressioni ad una, due e tre operazioni.

Esemplifichiamo.

Matrici di problemi ad una operazione

L’operazione 4 + 6 = 10 ci dice, senza dover calcolare, che sono vere anche queste operazioni: 6 + 4 =10 ; 10 – 4 = 6 ; 10 – 6 = 4

L’operazione 4 x 6 = 24 ci dice, senza dover calcolare, che sono vere anche queste operazioni: 6 x 4 = 24 ; 24 : 4 = 6 ; 24 : 6 = 4

Ecco i tre problemi originati dalla matrice 6 + 4 =10

6 + 4 = x Quante sono tutte le caramelle se 4 sono al limone e 6 alla menta?

10 – 4 = x Quante sono le caramelle alla menta se….?

10 – 6 = x Quante sono le caramelle al limone se….?

Ecco i tre problemi originati dalla matrice 4 x 6 = 24

6 x 4 = x Quante sono tutte le caramelle se 4 sono le scatole e 6 le caramelle per scatola ?

24 : 4 = x Quante sono le caramelle per scatola se 4 sono le scatole e 24 tutte le caramelle?

24 : 6 = x Quante sono le scatole se le caramelle per scatola sono 6 e tutte le caramelle sono 24?

Matrici di problemi a due operazioni

L’espressione 40 = 60 – 5 * 4 corrisponde sul piano merceologico operativo a:

Ha comprato delle caramelle alla menta e al limone, quelle al limone erano in scatole.

Ha fabbricato dei palloni da calcio e dei palloni da basket, quelli da calcio li ha messi in scatole.

Sul piano logico abbiamo l’insieme delle caramelle separato in due parti per qualità e una di queste parti, le caramelle alla menta, frazionata.

5 * 4 = 60 – 40

5 car limone/scat * 4 scatole ↔20 pall calcio↔ 60 caramelle (tutte) – 40 car menta

Abbiamo costruito una matrice che genera quattro problemi con quattro domande diverse.

Quante sono le car al limone di una scatola se……?

x CAR LIMONE/SCAT * 4 scatole ↔ y pall calcio↔ 60 caramelle (tutte) – 40 car menta

Quante sono le scatole di car al limone se……?

5 car limone/scat * x SCATOLE ↔ y pall calcio↔ 60 caramelle (tutte) – 40 car menta

Quante sono le caramelle se ……?

5 car limone/scat * 4 scatole ↔ y pall calcio↔ x CARAMELLE (tutte) – 40 car menta

Quante sono le caramelle alla menta se ……?

5 car limone/scat * 4 scatole ↔ y pall calcio↔ 60 caramelle (tutte) – x CAR MENTA

Il numero 20 è il risultato di due operazioni 5x4 e 60-40.

Quali attività possono essere proposte?

car limone/scat * scatole ↔ car limone ↔ caramelle (tutte) – car menta

Sostituisci tutte le parole

pall calcio/scat * scatole ↔ pall calcio↔ palloni(tutti) – pall basket

Sostituisci i numeri 5 e 4

….. car limone/scat * ….. scatole ↔20 pall calcio↔ 60 caramelle (tutte) – 40 car menta

Sostituisci tutti i numeri a parte il 20

….. car limone/scat * ….. scatole ↔20 pall calcio↔ ….. caramelle (tutte) – …car menta

Sostituisci tutti i numeri

….. car limone/scat * ….. scatole ↔……. pall calcio↔ ….. caramelle (tutte) – …car menta

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Parola chiave n 15

LE STORIE DEI PROBLEMI

COME NASCONO LE STORIE DAI PROBLEMI

LE STORIE DEI BAMBINI

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16 IL PROBLEMA SVELATO

Come si è potuto vedere in altre parti di questa presentazione del Progetto RHODA la prima richiesta che viene fatta al bambino è quella di esplorare e descrivere, in varie forme, linguistiche e matematiche, il problema. Esso è pienamente svelato, conoscibile in tutte le sue parti. Gli si chiede di leggerlo, in diversi modi. Il problema inizialmente è svelato. Si cerca di guidare l’alunno a scoprire e descrivere in diverse forme gli elementi costitutivi del problema e le relazioni tra di essi. Esistono relazioni quantitative, generiche come maggiore e minore e altre più precise indicate dalla relazione uguale e dai valori numerici.

Quindi, contrariamente alla prassi del lavoro sui problemi, non si parte dalla domanda. Si parte dall’esplorazione. Vediamo come è fatto, di quali elementi si compone.

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